** Constructions géométriques

Soit  `a` et `b`  deux nombres réels strictement positifs tels que `a.
On appelle  \(\mathscr{C}\)  la courbe représentative de la fonction logarithme népérien dans un repère orthonormal.
On désigne par  `\text{A}` et par  `\text{B}` les points d’abscisses respectives `a` et `b` de cette courbe.
Les points  \(\text{Q}\) et  \(\text{R}\) sont les projetés orthogonaux respectifs des points  `\text{A}` et \(\text{B}\)  sur l’axe
des ordonnées.

1. a. Déterminer l’équation réduite de la tangente  \((T)\) au point  \(\text{A}\) à la courbe \(\mathscr{C}\) .
    b. Déterminer l’ordonnée du point d’intersection  \(\text{P}\) de \((T)\) avec l’axe des ordonnées.
    c. Calculer la longueur \(\text{PQ}\) .
    d. En déduire une construction simple de \((T)\)  à l'aide d'une règle non graduée et d'un compas.
2. a. On considère le point \(\text{S}(0\ ;\ \ln(\sqrt{ab}))\) . Montrer que le point \(\text{S}\)  est le milieu du segment \([\text{QR}]\) .
   b. En déduire une construction du point \(\text{M}(\sqrt{ab} \ ;\ 0)\) .